Es una expresión con varios usos, pero todos con el mismo origen: la habilidad de algunos simios más evolucionados para imitar los gestos que ven en otros. Se llama así a un juego infantil donde se repiten los movimientos de otra persona, también a la burla de repetir exactamente todo lo que dice alguien, casi siempre usando un tono forzado, ridículo o infantil, y por supuesto a la actitud imitativa que estudian los zoólogos y antropólogos en los monos.
"En español existe la expresión «como un mono de repetición» y en inglés hay un verbo, 'to ape', que significa «imitar como un mono», aunque no sé si son usos muy cercanos a la realidad. (Richard Dawkins)"